14GK, 14
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
GRAŻYNA KACZKOWSKA 23.10.09
IV rok, matematyka
piątek 8:00-10:15
prowadzący: dr Z. Szczudło
14WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGOPRZY UŻYCIU WAHADŁA REWERSYJNEGO
Tabela pomiarowa:
1. OPIS TEORETYCZNY
Bryła sztywna to takie ciało, w którym wszystkie punkty mają zawsze stałą odległość względem siebie. Podczas ruchu układ punktów materialnych składających się na bryłę sztywną porusza się jako całość, nie zmienia jej postaci i objętości.
Ruch, który charakteryzuje się powtarzalnością w regularnych odstępach czasu nazywa się ruchem okresowym. Przemieszczenie cząstki w takim ruchu w każdym momencie czasu można opisać za pomocą funkcji sinus lub cosinus. I właśnie od nazwy tych funkcji ruch ten przyjął nazwę ruchu harmonicznego. Ruch harmoniczny prosty to ruch drgający, który powodowany jest przez siły wprost proporcjonalne do wychylenia ciała z jego położenia równowagi. W trakcie tego ruchu wartość siły zmienia się wprost proporcjonalnie do wychylenia. Zatem przyspieszenie w tym ruchu także jest zmienne i wprost proporcjonalne do wychylenia z położenia równowagi.
Wahadło matematyczne to wyidealizowane ciało, które ma punktową masę m i zawieszone jest na nieważkiej nici o długości l. Okres drgań T wahadła matematycznego dany jest wzorem:
T=2πlg gdzie: l - długość nici, g - przyspieszenie ziemskie.
Znając okres drgań T i długość l wahadła, można obliczyć wartość przyspieszenia ziemskiego g. W praktyce wahadło matematyczne bywa zastępowane przez kulkę o realnym rozmiarze, zawieszoną na zwykłej nici lub na drucie. Powoduje to dodatkowe błędy przy wyznaczaniu przyspieszenia ziemskiego. Dlatego też, aby tę wielkość wyznaczyć dokładniej, wykorzystuje się grawitacyjne wahadła fizyczne.
Wahadło fizyczne to ciało sztywne, wykonujące ruch okresowy wokół osi poziomej. Okres drgań wahadła fizycznego jest równy:
T=2πJD gdzie: J - moment bezwładności względem osi obrotu, D - tzw. moment kierujący
Obliczenie momentu bezwładności i momentu kierującego może być bardzo skomplikowane. Te trudności można ominąć wykorzystując tzw. wahadło rewersyjne (wahadło Katera).
Wahadło rewersyjne jest szczególnym przypadkiem wahadła fizycznego. Składa się z pręta P, na którym można przesuwać dwie masy w postaci krążków K1 i K2. Krążek K1 pozostaje w tym samym położeniu, a krążek K2 może być przesuwany pomiędzy ostrzami O1 i O2 oddalonymi od siebie o L. Pręt P może być zawieszony na jednym albo na drugim ostrzu. Można znaleźć takie położenie krążka K2 na pręcie, że okresy drgań wahadła zawieszonego na ostrzach O1 i O2 są takie same, czyli T1 = T2. Wtedy odległość L obu ostrzy, jest równa długości idealnego wahadła matematycznego o takim samym okresie. W takim przypadku nie musimy znać, ani obliczać momentu bezwładności J ani momentu kierującego D wahadła. Wystarczy podstawić L i T1 = T2 do wzoru na okres drgań wahadła matematycznego i wyznaczyć g.
2. PRZEBIEG DOŚWIADCZENIA
1) Zawieszam wahadło rewersyjne na ostrzu O1, pobudzam je do drgań o małej amplitudzie i wyznaczam okres jego drgań (przez pomiar 20 - tu wahnięć).
2) Zmieniając co 4 cm odległość x krążka K2 od ostrza O1, wyznaczam okresy drgań dla każdego z tych położeń.
3) Zawieszam wahadło na ostrzu O2 i powtarzam czynności z punktu 2 jak w przypadku ostrza O1.
4) Sporządzam na jednym rysunku wykresy zależności okresów drgań w funkcji odległości x, dla obu zawieszeń. Wykres w sprawozdaniu zamieszcza kolega z pary.) Odczytuję wartość x w punkcie przecięcia obu krzywych, dla którego okresy drgań T1 i T2 przy obu zawieszeniach są identyczne. Otrzymuję dwa takie punkty. Notuję wartość tych okresów.
5) Ustawiam krążek K2 dokładnie w tych położeniach i wyznaczam okresy drgań wahadła dla każdego z nich.
6) Ustawiam długość zawieszonego na tym samym statywie wahadła „matematycznego” na wartość długości zredukowanej L i mierzę jego okres drgań.
3. OBLICZENIA
Na podstawie informacji, które zamieściłam w opisie teoretycznym na stronie 2, korzystam ze wzoru na okres drgań wahadła matematycznego:
T=2πlg .
Wyznaczam wartości przyspieszenia ziemskiego, korzystając z przekształconego wzoru:
g=4π2lT2 .
Dla wahadła rewersyjnego podstawiam pod l długość zredukowaną
L=42cm=0,42m
a pod T średnią z okresów wahnięć wahadła z krążkiem w punkcie x=5 i x=39:
T=125,56+131,282:100=1,2842s
Wartość przyspieszenia ziemskiego otrzymana z pomiarów dla wahadła rewersyjnego wynosi:
g=4π2∙0,42(1,2842)2=10,0541ms2
Dla wahadła „matematycznego”:
l=L=0,42m
T=65,10 :10=1,302s
Wartość przyspieszenia ziemskiego otrzymana z pomiarów dla wahadła „matematycznego” wynosi:
g=4π2∙0,42(1,302)2=9,7811ms2
4. ANALIZA BŁĘDU
Obliczam niepewność standardową u(g) korzystając ze wzoru:
u(g)/g = u(L)/L + 2 u(T)/T
Przyjmuję:
u(L) = 0,5 mm
u(T) = 0,01s
Niepewność standardową u(g) dla wahadła rewersyjnego wynosi:
u(g)/10,0541 = 0,0005/0,42 + 2∙0,01/1,2842
ug= 0,0168∙10,0541=0,1689
Niepewność standardową u(g) dla wahadła „matematycznego” wynosi:
u(g)/9,7811 = 0,0005/0,42 + 2∙0,01/1,302
ug= 0,0166∙9,7811=0,1624
5. WNIOSKI
Ostatecznie wynik dla wahadła rewersyjnego wynosi:
g=10,05±0,17ms2
Ostatecznie wynik dla wahadła „matematycznego” wynosi:
g=9,78±0,16ms2
Otrzymane wartości przyspieszenia ziemskiego zarówno za pomocą wahadła matematycznego jak i wahadła rewersyjnego nie odbiegają znacznie od wartości tablicowej tej stałej (9,81m s2). Jednak nie mieści się ona w granicach błędu dla wahadła rewersyjnego. Przeprowadzone doświadczenie pokazuje, że dokładniejszego pomiaru przyspieszenia można dokonać za pomocą wahadła zbliżonego do matematycznego niż używając w tym celu wahadła rewersyjnego.
Wpływ na błędy mogły mieć m.in. różne odchylenie wahadła za każdym pomiarem, niestabilność stanowiska, na którym było wykonywane doświadczenie, różna liczba wahnięć przy pomiarze okresów dla wahadła rewersyjnego i „matematycznego”.
Uwaga: Dla wahadła rewersyjnego obliczyłam przyspieszenie podstawiając za okres T średnią okresów dla dwóch x-ów. Pan wolał żeby policzyć przyspieszenie dla każdego x-a osobno i dopiero (jeżeli żaden nie będzie bardzo odchy...
[ Pobierz całość w formacie PDF ]